Впервые 22-летний ленинградский пловец спортивного общества "Сталинец" завоевал первое место в чемпионате СССР в 1938 году. Выступая почти 15 лет на чемпионатах страны, Мешков более 30 раз одерживал победы, установив множество рекордов страны.
В 1941-м, накануне войны, Леонид Мешков переживал расцвет: в течение апреля-мая он установил три мировых рекорда брассом. Кроме того, Мешков установил тогда же три рекорда СССР в плавании стилем кроль, причем все они превышали официальные рекорды Европы. Такого сочетания высших достижений в плавании двумя стилями еще не было в истории спорта.
Началась война и Леонид Мешков добровольно ушел в действующую армию и был направлен в подразделение разведки одной из частей Ленинградского фронта. На Лужском оборонительном рубеже понадобилось срочно произвести разведку тыла противника. Несколько попыток переправиться на лодках через реку Лугу не увенчались успехом, и тогда это было поручено пловцам - старшему сержанту Леониду Мешкову и его товарищу Кулакову. Им было поручено проникнуть в расположение вражеской части, выяснить дислокацию огневых точек и численность личного состава.
Спортсмены-разведчики под покровом ночи переплыли быструю Лугу и пробрались на территорию, занятую противником. К вечеру они добыли необходимые сведения и стали спускаться к реке. Здесь их обнаружили немецкие посты, осветили местность прожекторами, открыли огонь. Кулаков был тяжело ранен и потерял сознание. Мешков взвалил его на плечи и ползком добрался до реки. И тут он почувствовал сильный удар в правую руку: его ранил осколок разорвавшейся рядом мины. Усилием воли Мешков сохранил сознание. Правая рука не действовала, он прижал ее к туловищу, левой рукой подхватил раненого товарища и бросился в воду. Плыть разведчик мог только с помощью ног. Мужество, высокое мастерство в плавании, выносливость помогли сохранить жизнь себе, раненому товарищу и выполнить боевое задание. Важные данные были доставлены командованию. За этот подвиг Леонид Мешков был удостоен награды.
Госпиталь. Длительное лечение, интенсивное восстановление, и все же Мешкова комиссовали. Он вернулся в знакомый бассейн. С огромным трудом давались тренировки, казалось, что к рекордным результатам вернуться не удастся. Но могучий организм и железная воля выдающегося спортсмена сделали свое дело. Результаты стали расти. На чемпионате СССР 1943 года, проходившем в Москве, Леонид завоевал призовые места на четырех дистанциях. А через год Мешков выигрывает на дистанциях 200 и 400 метров брассом и становится вторым на 100-метровке.
